对称点坐标

问题描述

​ 在平面直角坐标系中,有一条直线$l: Ax+By+C=0$,(注:方程$Ax+By+C=0$和解析式$y=- \frac{A}{B} x-\frac{C}{B}$在$B\ne 0$时等价 )和一给定点$P(\alpha,\beta )$,求$P$点关于直线$l$的对称点的坐标

---

问题解决

​ 作$P$点关于$l$的对称点$P’$,并过$PP’$点作直线$l_{2}$,如下图:

​ 可知直线$l_{2}$垂直平分$l$,令$l_{2}$交$l$于$M$,只要计算出$M$点的坐标即可通过中点坐标公式计算出$P’$的坐标

中点坐标公式

若$M$是$P$与$P’$的中点,则$M$点满足:

$$M=\frac{P+P'}{2}$$

此式中的字母表示该点的相应坐标(或者说表示从原点到该点的向量),此式在任意维度的坐标系中都成立.

​ 我们知道互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数,所以由$l$的斜率为 $-\frac{A}{B}$ ,可以知道 $l_{2}$ 的斜率 $k_{PP’}= \frac{B}{A}$

​ 所以$l_{2}$的点斜式为 $l_{2} :y-B=\frac{B}{A}(x-\alpha )$,把点斜式化为一般式并与$l$联立得:

$$\left\{\begin{matrix} Bx-Ay+a +(A\beta -B\alpha )=0 \\ Ax+By+C=0 \end{matrix}\right.$$

​ 解这个方程组,结果即为$M$的坐标.

方程组的解为:

$$x=\frac{B^{2}\alpha -AC-AB\beta }{A^{2}+B^{2}} y=\frac{A^{2}\beta-BC-AB\alpha }{A^{2}+B^{2}}$$

则$M$点的坐标为:

$$M(\frac{B^{2}\alpha -AC-AB\beta }{A^{2}+B^{2}} ,\frac{A^{2}\beta-BC-AB\alpha }{A^{2}+B^{2}} )$$

带入中点坐标公式,得$P’$的坐标为:

$$P'(2x_{M}-\alpha,2y_{M}-\beta)$$

总结

垂足坐标公式

$$M(\frac{B^{2}\alpha -AC-AB\beta }{A^{2}+B^{2}} ,\frac{A^{2}\beta-BC-AB\alpha }{A^{2}+B^{2}} )$$

对称点坐标公式

$$P'(2x_{M}-\alpha,2y_{M}-\beta)$$