整除

整除

整除的定义

​ 对任给的两个整数$a,b(a\ne 0)$,如果存在整数$q$,使得$b=aq$,那么称$b$能被$a$整除,(或称$a$能整除$b$),记作$a\mid b$.否则,称$b$不能被$a$整除,记作$a \nmid b$

​ 如果$a\mid b$,那么称$a$为$b$的因数,$b$为$a$的倍数.

整除的基本性质

• ​ 若$a\mid b,b\mid c$,那么$a\mid c$.这表明整除具有传递性.

• ​ 如果$a\mid b$,那么$a\mid (-b)$,反过来也成立;进一步,如果$a\mid b$,那么$(-a)\mid b$,反过来也成立.

  ​ 因此,我们经常只讨论正整数之间的整除关系.

• ​ 若$a\mid b,a\mid c$,则对任意整数$x,y$,都有$a\mid bx+cy$.(即$a$能整除$b,c$的任意一个”线性组合”)

能被整除的数的特征

1. 1与0的特性
   1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
   0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
2. 能被2整除的数的特征
   若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除.
3. 能被3整除的数的特征
   1.若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除;
   2.由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除.如111被3整除.
4. 能被4整除的数的特征
   若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除.
5. 能被5整除的数的特征
   若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除
6. 能被11整除的数的特征
   若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除.